L’infini ça fait beaucoup, surtout vers la fin ! Quoique…

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Et si nous parlions de mathématiques ? En commençant par une petite blague pour faire passer la pilule :

Une infinité de mathématiciens rentre dans un bar où chaque bière est à 3€.
Le premier commande une bière, le deuxième en commande deux, le troisième trois et ainsi de suite.
Le barman leur dit « vous payez d’avance » et leur donne 25 centimes.

Si vous avez compris la blague mais que vous la trouvez nulle, je vous invite à écouter celle-ci, ça vous aidera à relativiser.

Avertissement : après ça, même les blagues d’Arthur vous paraîtront désopilantes. La rédaction de lawald.com décline toute responsabilité en cas de dépression induite par le visionnage de ses spectacles.

Si vous n’avez pas compris, ça tombe bien, je vais vous expliquer. 😉

Ah ! les maths… J’en vois au fond qui, torturés des années durant à coups de théorème de Pythagore et d’identités remarquables, soupirent déjà. Mais attendez une seconde ! Je vais vous parler d’un résultat des plus surprenants qui peut se démontrer très facilement. Si facilement qu’un collégien peut me suivre ! J’ai même démontré ce résultat à une de mes collègues, plus hermétique aux mathématiques que Dominique Strauss-Kahn au concept d’abstinence sexuelle, sans qu’elle essaie de me crever les yeux !

Avant de commencer, permettez-moi de vous poser une petite question : Que vaut la somme de tous les entiers naturels (a.k.a. les nombres entiers positifs) ? C’est à dire, combien font :

1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + …

et ce jusqu’à l’infini ? Si vous n’êtes pas con comme un panier, vous allez me dire : « Bah l’infini, niguedouille ! » ou bien vous aurez compris que si je vous pose la question c’est que j’attends un réponse différente de l’évidence et vous prendrez la pose « poisson rouge » jusqu’à ce que je continue, ou encore vous connaissez déjà la réponse que j’attends, puisque pas plus bête qu’un autre, vous avez vu l’image de l’article et il faut que j’arrête de digresser car ça devient excessivement énervant (spéciale dikenekace).

Bref ! Supposons que vous pensez, comme tout être normalement cérébré, que cette somme « vaut l’infini » : en êtes-vous bien sûrs ? Combien êtes-vous prêts à parier là-dessus ? Et si je vous disais que ce résultat (que nous appellerons S) vaut -112 ? Ou pour l’écrire correctement :

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« What the fuck ?! » me direz-vous… Et vous auriez raison ! Je vous prends pour un jambon de trois semaines, ou quoi ? Je voudrais vous faire croire que si vous sortiez votre calculatrice et additionniez 1, puis 2, puis 3 et ce jusqu’à l’infini, l’écran afficherait crânement -0.83333… ? À d’autres !

Bien évidemment, si vous preniez votre calculatrice pour vérifier ce résultat, il vous faudrait un petit moment avant d’y parvenir. Même en admettant que vos héritiers prennent le relais en continuant votre calcul jusqu’à la mort thermique de l’univers dans quelques googol années, ils n’auront même pas fait une petite entaille dans cette somme monstrueuse.

Si l’on admet une seconde que S existe et est calculable, il faut donc choisir une autre méthode. En voici une :

Pour commencer, prenons une somme un peu plus sympa, que nous appellerons S1 :

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Cette somme est un peu plus sympa car elle ne se barre pas vers l’infini. En revanche, elle n’en est pas moins vicieuse dans son genre puisqu’elle oscille sans arrêt entre 0 et 1, sans jamais tendre vers une valeur fixe. C’est ce qu’on appelle une série divergente.

Et s’il me prenait l’envie de calculer 1 – S1 pour voir combien ça fait ? Qu’à cela ne tienne :

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Lorsqu’on a un signe « – » devant une parenthèse, il suffit de supprimer les parenthèses et inverser les signes à l’intérieur, ce qui donne :
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Et ô miracle ! on s’aperçoit que 1 – S1 = S1 ! Et donc si l’on résout cette équation très simple, on obtient S1 = 12. Ce résultat, bien qu’étonnant pour un mathématicien, n’est pas si contre-intuitif que cela. Après tout, puisque 12 est la moyenne de 0 et 1, on peut entrevoir une certaine logique.
Forts de ce résultat, introduisons une autre somme infinie, que nous appellerons S2 :
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Il s’agit à nouveau d’une somme alternée, mais cette fois les termes grandissent. Maintenant, amusons nous à calculer 1 – S2 – S1 :

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On constate donc que 1 – S2 – S1 = S2
Or, on a montré que S1 = 12. Si l’on remplace donc cette valeur dans l’équation ci-dessus et que l’on résout, on obtient :

 S2 = 14

Pfiou ! Allez, on respire un bon coup, et on continue ! C’est bientôt fini 😉

Cherchons enfin combien font S – S:

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Et l’on s’aperçoit que S – S= 4S !

Connaissant la valeur de S2 et en résolvant l’équation on obtient le résultat promis :

1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + … = -112

Et voilà ! Étonnant, non ?

Qui n’est toujours pas convaincu ?

La plupart d’entre vous, j’espère ! Vous l’aurez compris, cette « démonstration » n’est guère rigoureuse et s’apparente plus à du bricolage qu’à une véritable preuve mathématique. C’est ce que j’appelle une démo d’apéro : le genre qui sert à épater vos copains en buvant une binouze !

Néanmoins, le résultat lui-même n’est pas à jeter : il est possible de lui donner du sens et ce de façon beaucoup plus académique (autrement dit sans faire pousser des petits cris de douleur aux matheux). Mais c’est une démonstration qui n’est pas facilement vulgarisable.

Je tenterai toutefois de m’y atteler dans un prochain billet, tout en me penchant sur la signification et les applications de ce résultat. En attendant, ceux qui souhaitent aller plus loin peuvent s’intéresser à la fonction zêta de Riemann. Une grande star des mathématiques modernes qui, si vous êtes un poil doué, pourrait vous permettre de gagner 1 million de dollars (américains, pas zimbabwéens). Mais faites vite, on m’a dit que Jamy Gourmaud est sur le coup !

Conclusions :

  1. Si vous avez une infinité de potes, évitez d’aller boire une bière tous ensemble, les barmans n’aiment pas ça et en profitent pour jouer au plus malin.
  2. Il est intéressant de relever que les mathématiques, comme la physique, peuvent parfois aller à l’encontre de notre intuition. Car le plus beau, c’est que cette « égalité » a été vérifiée par la physique expérimentale ! Mais c’est là encore le sujet d’un autre article…

9 réflexions sur “L’infini ça fait beaucoup, surtout vers la fin ! Quoique…

  1. Anonyme

    J’ai toujours eu un petit souci avec les mathématiques, mais je vois qu’ici c’est avec la littérature qu’on est fâché. La traque aux fautes de français part d’un bon sentiment, mais joliment écrire n’est pas affaire de volonté. On ne peut être doué partout.

    J'aime

    1. Pour une vulgarisation, c’est largement acceptable. 🙂

      Il est à noter que si ce genre de démonstration tenait la route, on l’aurait trouvée il y a des siècles, alors qu’étrangement, il s’agisse d’une découverte des pointures modernes des maths et de la physique. Donc, de deux choses l’une : il n’est à pas douter que la théorie derrière ce résultat est bien plus complexe qu’une petite manipulation de séries ; et l’autre : les pointures de ce monde ne sont pas du genre à publier n’importe quoi, donc il n’est à pas douter non plus du bien-fondé de leurs trouvailles.

      En tous cas, avec mon (tout petit) niveau de maths, la vulgarisation me permet déjà de me faire une (toute petite) idée de la manière dont on parvient à ce genre de résultats exubérants ! 🙂

      Aimé par 1 personne

  2. Bonjour,
    Je viens d’en voir une aussi « énorme ».
    Un professionnel dispose d’un tarif fourni par son sous-traitant. Ca ne l’arrange pas pour rédiger ses devis, alors, il demande un coup de main à un forum de math. On lui donne une magnifique formule de degré 13 avec des paramètres énormes.
    La formule demandée est une simple fonction linéaire (je crois que je devrais dire affine).
    Le fossé entre les maths et la réalité se creuse de plus en plus !!

    Aimé par 1 personne

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